確率計算~カード設定編~


カード設定で入力した情報から初期手札の確率計算のプロセスを共有したいと思います。ご不明な点や意見の相違がありましたらご連絡のほどお願いします。

以下で使う確率計算機 → https://duellinkstheory.com/duellinks/duelproject/probability.html

導入

カードゲームにおいて手札に来るカードまたはデッキに存在して欲しいカードの確率を知る事が非常に重要です。その確率の計算において以下の4つのパターンの組み合わせで網羅する事が可能です。

① A :以上ドローする(手札に必要枚数を超えるカードを必要とする時に用いる)

② B :ちょうどドローする(手札に必要枚数をちょうど欲しい時に用いる)

③ C :以上デッキに残す(デッキ内に必要枚数を超えるカードを残しときたい時に用いる)

④ D :ちょうどデッキに残す(デッキ内に必要枚数をちょうど残しときたい時に用いる)

これら4パターンと”デッキの枚数”、”投入枚数”、”必要枚数”を指定する事で確率を算出する事が出来ます。

計算の過程で4パターンの区別を簡略化するために以下からは前述で示したアルファベットで表現したいと思います。そして、アルファベットの左下には”投入枚数”、アルファベットの右下には”必要枚数”を書くことで指定する条件を表現します。

例 3枚投入したカードを1枚以上ドローする ₃A₁

Bへの分解

この4パターン、実はすべてBのみで表現する事が可能なのです。1つずつ例を使って示します。

例1 Aにおいて3枚投入したカードを一枚以上ドローする場合は1枚ちょうドローする、2枚ちょうどドローする、3枚ちょうどドローするの足し合わせで表現する事が可能です。つまり  ₃A₁ = ₃B₁ + ₃B₂ + ₃B₃

例2 Cにおいて3枚投入したカードを一枚以上デッキに残す場合は0枚ちょうどドローする(3枚デッキに残る)、1枚ちょうどドローする(2枚デッキに残る)、2枚ちょうどドローする(1枚デッキに残る)の足し合わせで表現する事が可能です。 つまり  ₃C₁ = ₃B₀ + ₃B₁ + ₃B₂

例3 Dにおいて3枚投入したカードを一枚ちょうどドローする場合2枚ちょうどドローする(1枚デッキに残る)と表現する事が出来る。つまり、₃D₁ = ₃B₂

以上の例をまとめると次のようになります。

これから、すべての事象はBに書き換わる事が出来るので確率の計算は実際のところBの場合のみを考慮すればよい事になります

そして、”投入枚数”をα、”必要枚数”をβと表現した場合、4パターンは次のように表現できる事となります。

このようにすべてのパターンはBで表現する事が可能になりました。

次に、以上のパターンの組み合わせを考えていきます。例えば、AとCやAとAとDなどなどである。そして、以下から 組み合わせの表現を : で表現したいと思う。

例 3枚投入したカードを1枚以上ドローする ₃A₁ と3枚投入したカードを1枚ちょうどドローする ₃B₁ の組み合わせを ₃A₁ : ₃B₁ と表現していく。

組み合わせ

組み合わせを考える上でも、Bのみを考えます。例で用いた ₃A₁ : ₃B₁ について考えていきます。

初めに図2の表通りに条件をBへと分解します。

₃A₁ : ₃B₁ → (₃B₁ + ₃B₂ + ₃B₃) : ₃B₁

その後、掛け算と同じプロセスでかっこを外します。

₃A₁ : ₃B₁ → (₃B₁ + ₃B₂ + ₃B₃) : ₃B₁ → ₃B₁ : ₃B₁ + ₃B₂ : ₃B₁ + ₃B₃ : ₃B₁

以上のように組み合わせの計算としては掛け算と同じプロセスで分解します。そして、それぞれの組み合わせの計算値を足し合わせると指定した条件の確率となります。

これで、すべてのパターンはBの組み合わせに分解出来る事が分かったので次にBの組み合わせの計算を考えていく。

B : B : ・・・ の計算

ここから、確率計算の大詰めとなります。Bの組み合わせの計算を考えていきます。

この計算の公式は次のようになりました。

この公式を各項ごとに解説したいと思います。

初めに、第3項目から説明します。この項は手札の順番を考慮しない場合の確率となっています。つまり、分子は手札に来るパターンの総数に対して分母は手札に来る全パターンとなります。これらから、手札の順番を考慮した補正を行います。

それが第1項目と第2項目の役割となります。第1項目は指定したカードの手札の組み合わせであり、第2項目は指定したカードの入れ替えを考慮した項です。

以上より前述の例を使い、公式を使って計算過程を示していきます。

例  ₃A₁ : ₃B₁ においての先攻の確率計算

これらに×100を施し計算すると、16.904 + 2.6006 + 0.0619 = 19.5665 %という結果になります。

以上でカード設定で指定した条件での確率の計算過程となります。

計算過程で用いた記号や公式や例について、ご不明な点がございましたらツイッターの方で連絡承ります。

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